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Polígono regular

En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.¹

Índice

1 Elementos de un polígono regular
2 Propiedades de un polígono regular
3 Ángulos de un polígono regular

4 Galería de polígonos regulares
5 Área de un polígono regular

6 Diagonales de un polígono regular

Elementos de un polígono regular

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y cuerda.

Propiedades de un polígono regular

Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.
Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.

Ángulos de un polígono regular

Central

Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\alpha = \frac{2\pi}{n} \;$ en radianes

Interior

El ángulo interior, $\beta \,$ , de un polígono regular mide:

$\beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ en radianes

La suma de los ángulos interiores, $\sum \beta \;$ , de un polígono regular es de:

$\sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \;$ en grados sexagesimales

$\sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \;$ en radianes

Exterior

El ángulo exterior, $\gamma \;$ , de un polígono regular es de:

$\gamma = \frac{360^\circ}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\gamma = \frac{2 \pi}{n} \;$ en radianes

La suma de los ángulos exteriores, $\sum \gamma \,$ , de un polígono regular es:

$\sum \gamma = 360^\circ \;$ en grados sexagesimales

$\sum \gamma = 2 \pi \;$ en radianes

Galería de polígonos regulares

Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)

Cuadrado (cuadrilátero regular) (4)

Pentágono regular (5)

Hexágono regular (6)

Heptágono regular (7)

Octágono regular (8)

Eneágono regular (9)

Decágono regular (10)

Endecágono regular (11)

Dodecágono regular (12)

Tridecágono regular (13)

Tetradecágono regular (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regular

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

$A = \frac {P \cdot a}{2}$

[Expandir] Demostración

En función del número de lados y la apotema

Sabiendo que:

$A_p = \frac {L \cdot n \cdot a} {2}$

Además $\delta = \frac {\pi} {n} \$ , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

$L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Sustituyendo el lado:

$A_p = \frac { \left ( 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \right ) \cdot n \cdot a } {2}$

Finalmente:

$A_p = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

$L = 2 r \sin({\delta}) \;$

$a = r \cos({\delta}) \;$

donde el ángulo central es:

$\alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \;$

sabiendo que el área de un polígono es:

$A_p = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

$A_p = \frac{2 r \sin({\delta}) \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \;$

ordenando tenemos:

$A_p = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \;$

sabiendo que:

$2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \;$

resulta:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \;$

o lo que es lo mismo:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

En función de la longitud y el número de lados

Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

$A_p = n \cdot \frac{L \cdot a}{2}$

Sea $\varphi$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

$\varphi = \frac{\pi-\alpha}{2} \ = \frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2} \ = \frac{\pi}{2} \; \frac{(n-2)}{n}$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

$\tan \varphi = \frac{a}{\frac{L}{2}} = \frac{2a}{L}$

Despejando la apotema tenemos:

$a = \frac{L \cdot \tan \varphi}{2}$

Sustituimos la apotema por su valor:

$\left . \begin{array}{l} A_p = n \cdot \cfrac{L \cdot a}{2} \\ \\ a = \cfrac{L \cdot \tan \varphi}{2} \\ \\ \varphi = \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n} \end{array} \right \} \quad \longrightarrow \quad A_p = n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot \tan \left ( \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n} \right )$

Se puede ver en el dibujo que $tan(\delta) = \frac{1}{tan(\varphi)}$ y la fórmula puede escribirse también como $A_p = \frac{n \cdot L^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{180^{o}}{n}\right)}$ .

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

Diagonales de un polígono regular

Número de diagonales

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
Esto es válido para los n vértices del polígono.
Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

$N_d = \frac{n (n-3)}{2}$

Longitud de la diagonal más pequeña

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

$\sin({\alpha}) = \frac{\frac{d}{2}}{r}$

que resulta:

$\sin({\alpha}) = \frac{d}{2r}$

de donde deducimos que:

$d = 2r \sin({\alpha}) \,$

Sabiendo el valor del ángulo central:

$d = 2r \sin \left ({\frac{2\pi}{n}}\right )$

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

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